세상에서 제일 큰 숫자는?

안녕하세요! 첫 포스팅이라 그런지 어색어색 하네요ㅎㅎ;;;

이번에 포스팅해볼 글은 세상에서 제일 큰 숫자입니다!

세상에서 제일 큰 숫자라니 말이 이상하죠? 그런게 있을리가 없는데

아무리 큰 수가 나타난다고 한들, 무조건 그것보다 더 큰 숫자가 있으니까요

그렇기 때문에 오늘 포스팅해 볼 글은, 수학적으로 의미있는 숫자들중에서 매우매우~ 큰 숫자를 소개해보려고합니다.

수학에 관심있는분들이라면 구골플렉스(Googolplex), 그레이엄 수, 스큐스수 등을 떠올렸을 지도 모르겠네요!

하지만 이 숫자들은 TREE(3) 에 비하면 0이나 다름 없을 정도로 작습니다.

Tree(3)을 소개하기전에, tree(3)가 얼마나 큰 수인지 비교하기 위해 가장 설명하기 간단한 구골 플렉스가 뭔지 알아보죠

숫자를 부를때 10진법에선 10^1을 십이라고 부르고,

10^2를 백, 10^3을 천, 10^4를 만이라고 부릅니다.

이렇게 10의 n승한 숫자들을 부르는 명칭들이 각각 정해져 있습니다.

이런 10의 n승을 부르는 숫자들 중 그나마 의미있고 큰 숫자중, 구골(googol) 이라는 숫자는 10^100을 의미하는 숫자입니다

이때 구골플렉스는 10의 구골제곱을 의미합니다.

즉

10^10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000  이 바로 구골플렉스입니다

그럼 tree(3) 는 대체 뭐하는 숫자길래 이런 미친 숫자들보다도 훨씬 크다는 걸까요??

우선 트리라는 개념을 이해해야합니다.

트리는 점과 선으로 이루어진 그래프이고, 닫힌 경로가 없어야 합니다.

정사각형이나 삼각형의 그래프처럼, 한붓그리기를 했을때 같은점을 두번 지날 수 있으면, 닫힌경로가 있는거라고 보시면 됩니다.

그럼 어떤 규칙에 따라 색깔이 있는 점으로 트리를 그리는 게임을 하나 해봅시다.

규칙은 이렇습니다.

1. 처음 그리는 트리는 점이 1개, 두번째는 2개, 세번째는 3개를, n번째는 n 개를 넘을 수 없다.

2. 이전에 그린 트리가 다음 트리에 포함되게 그릴 수 없다.

포함?? 또 모르는 단어가 나왔습니다. 하지만 새로운 단어라 어렵지 사실 어려운게 아니니 차근차근 설명해보죠.

트리는 아까 설명했던 조건만 맞으면 트리라고 하지만, 우리는 보기 편하게 맨밑에있는 점하나에서 가지가 뻗어 올라가는, 진짜 나무같은 형태의 트리만 그리겠습니다.

이런 조건에서, 어떤 한 점 A 에서 한붓 그리기로 갈 수 있고, A보다 아래에 있는 점을 계승자(successor), 간단하게 선조라고 합시다. 반대로 A를 후손이라고 해봅시다. 

이때, A의 가장 가까운 선조가 같으면 포함한다고 얘기할 수 있습니다.

말로하니까 좀 어렵네요^^;; 그림으로 보여드릴게요

첫번째껀 다들 이해하시겠지만 두번째는 약간 이해하시기가 어려울 것 같아서 표시를 해봤습니다

가장 가까운 계승자! 라는 조건 때문에 두번 째 트리 또한 포함관계가 인정이 됩니다.

자. 그럼 색깔이 있는 점이 한종류 일 때 게임을 해봅시다.

조건 1에 따라서 첫번 째 트리는 점 하나 뿐입니다.

그런데 두번째 트리를 그려보면 무조건 1번 트리를 포함할 수 밖에 없습니다.

따라서 색깔이 하나일 때 그릴 수 있는 트리의 갯수는 1개 뿐입니다.

자 이 때 게임이 끝났을 때, 트리의 갯수가 최대일 때의 트리의 갯수는 1이고, 이를 tree(1)=1 라고 합시다.

그럼 색깔이 두종류일 때는 어떨까요?

결론부터 말하면 tree(2)=3 입니다

이 뒤로는 어떤 트리도 1이나 3을 포함하기 때문에 게임이 끝이 나죠

자 대망의 tree(3)은?

정말 무지하게 많습니다.

직접 그려보시면 진짜 수도없이 많이 만들 수 있습니다. 

그 양이 얼마나 많냐면,

 지구 모든 인구가 초당 10개씩 그려서 각자 평생을 걸려서 그리고, 그 자식들이 또 초당 10개씩 그린다고해도

지구가 멸망할 때까지 그려도 tree(3)의 발톱의 때만큼도 다가갈 수 없습니다.

그렇다고 해서 이게 무한한가?

그렇지는 않습니다. tree(3)이 유한하다는 것은 증명이 되어 있거든요.

그래프 이론에서, 이러한 tree 함수가 2에서 3으로 변할 때 그 폭발적인 증가량이 유의미하게 관찰할 수 있기 때문에 tree(3)은 수학적으로 의미있는 숫자중에서도 어마어마하게 큰 수라고 볼 수 있죠

그래프이론에서는 특히나 엄청나게 큰 수들이 많이 발견되곤 하는데요, tree(3)가 그 대표적인 예로 들 수 있겠네요

지금까지 tree(3)이라는 숫자에 대해 알아봤는데요, 

이렇게 거대한 숫자임에도 불구하고 tree(3) 보다 훨씬 큰 숫자들이 많고, 또 계속 생겨나고 있으니

재미로만 봐주시면 감사하겠습니다 :)

다음번에는 더 흥미로운 수학얘기로 찾아뵙겠습니다 읽어주셔서 감사합니다~