i^i는 뭘까?

안녕하세요~ 어제는 좀 춥던데 오늘은 날씨가 은근히 괜찮더라구요

 

 

이럴 때가 산책하기 딱 좋은 날씨죠 ㅎㅎ

 

 

오늘 포스팅할 주제는 i^i 입니다!

 

 

일반적으로 지수법칙은 실수체계에서만 알고 있지, 어떤 정수의 복소수 제곱 까지 생각하지는 않습니다

 

 

직관적으로 이해하기도 어렵죠.

 

 

이를 이해하기 위해서는 오일러의 공식(Euler's formula) 를 이해 해야합니다.

 

 

오일러의 공식이란, 허수 i 에 대해서 e^(ix) =cos x + i sinx  가 성립한다는 공식입니다.

 

 

띠용? 너무 뜬금없지 않냐구요? 그렇지만 엄밀히 수학적으로 증명된 사실입니다.

 

 

간단하게 한번 증명해보죠

 

 

어떤 함수 f(x)를 e^(-ix) * (cosx +isinx)  라고 둬 봅시다.

 

 

만약, e^(ix)= cosx+isinx 가 성립한다면,

 

 

f(x)라는 함수는 상수함수 f(x)=1 이라는 걸 알 수 있겠죠

 

 

f(x)를 미분해봅시다.

 

 

 

따라서, df(x)/dx 가 0이므로 f(x)가 상수함수라는 것을 알았습니다.

 

 

f(x)에 0을 대입하면, f(0)=1 이라는 값을 얻을 수 있으므로,

 

 

따라서 f(x)=1 이므로 e^(ix)= cosx+isinx 라는 걸 알 수 있습니다.

 

 

여기서 x 에 pi 를 대입해볼까요?

 

 

 

e^(ipi) 는 -1 이네요!

 

 

이때 양변에 +1을 더해주면

 

 

 

 

이 식을, 물리학자 리처드 파인만이 "수학에서 가장 비범한식" 이라고 불렀다고 합니다.

 

 

수학에서 가장 중요한 다섯개의 상수 e, i, pi, 1,0 이 모두 들어있고,

 

 

가장중요한 연산 덧셈, 곱셈, 지수, 등호가 모두 들어있기 때문이죠

 

 

이번엔 pi/2 를 대입해봅시다.

 

 

 

이렇게 해보니 i 를 e^(ipi/2) 로 다시 정리할 수 가 있네요!

 

 

자 그럼 i^i 로 다시 돌아와 봅시다.

 

 

방금 i=e^(ipi/2) 라는 걸 알았는데요

 

 

i^i 의 밑에 이 식을 대입해볼까요?

 

 

 

 

여기서 i*i=-1 이니까

 

 

정리하면

 

 

 

허수의 허수 제곱이 실수가 됐네요? 이 값을 계산기로 두들겨보면 0.20787... 의 값을 얻을 수 있습니다

 

 

신기하네요!

 

 

사실 e^(ix)=cosx +isinx 라는 공식을 이용해서 복소평면의 좌표를 표현할 수 있습니다!

 

 

 

세로축은 허수를, 가로축은 실수를 표현하는 복소평면입니다. 이 평면위에 모든 복소수를 표현할 수 있죠

 

 

위에 나타난 그림은 z=cosx+i sin x 라는 그래프로, 복소평면위의 단위원을 나타냅니다. 

 

 

그럼 이번엔 막간을 이용해서 루트 i 에 대해서도 생각해볼까요?

 

 

마찬가지로 i=e^(ipi/2)를 써먹을 수 있습니다

 

 

루트 i 는 i^(1/2) 니까 e^(ipi/4) 가 되겠네요

 

 

이를 오일러의 공식에 대입하면

 

 

 

 

루트 i는 복소수가 됐네요

 

 

뭔가 새로운 수체계를 발견할것 같았는데 아쉽기도 하고, 신기하기도 하네요 ㅎㅎ

 

 

이번 포스팅에서는 복소평면과 오일러의 공식에 대해서 간단하게 알아봤습니다.

 

 

다음번엔 더 재밌는 수학얘기를 포스팅해 드리겠습니다!

 

 

감사합니다~~