0!, (1/2)!은 뭘까?

오늘은 계승(factorial)에 대해서 한번 포스팅해 봅시다.

 

일반적으로 계승은 !로 잘 알고 계시는데요

 

 

 

1! =1, 2!=2, 3!=6 과 같은 규칙을 갖고 있습니다.

 

정의된 바로는, 자연수의 계승은, 1부터 n까지 사이에 n보다 작거나 같은 모든 양의 정수의 곱을 의미합니다.

 

 

그러니 3!=3*2*1 로 6이라는 값을 갖고 있지요.

 

그럼 양의 정수를 넘어서 0을 포함한 자연수로 확장을 해봅시다.

 

그럼 0!을 정의할 수 있을 까요?

 

이전에 다른 계승 값들의 규칙을 한번 살펴봅시다.

 

5!=5*4*3*2*1 입니다

 

이 값은 6!/6 으로, 6의 계승을 6으로 나눈 것과 같죠

 

모든 자연수 n 에 대해서 (n-1)!=n!/n 이 성립합니다.

 

 

 

 

 

그럼 0에 대해서 한번 봅시다

 

0!=1!/1 =1 이네요

 

계승의 이러한 규칙을 따른다면 0!은 1 입니다

 

넵 0!은 1이네요

 

 

???

 

 

어떻게 이런 결론이 나올 수 있을까요? 0의 계승이 1인건 좀 이상하다고 느껴질 수 있습니다

 

하지만 자연스러운 일입니다

 

계승은 배열의 경우의수를 나타낼때 자주 쓰이는 방법입니다

 

a,b,c 라는 세 글자를 일렬로 나열하는 방법의 경우의 수는 몇가지 일까요?

 

(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a) 로 총 6가지 입니다.

 

 

3!과 같죠

 

마찬가지로 a,b 를 나열하는 경우의 수도  2!=2 입니다.

 

1!도 당연히 a 하나 뿐이구요

 

자 그럼 아무것도 없을 때는?

 

이것 하나 뿐입니다

 

"   " 이거요

 

즉 아무것도 없는 상태 자체를, 하나의 경우의 수로 생각한다면

 

전혀 이상한 일이 아니라는 거죠

 

따라서 0!은 1이라고 볼 수 있습니다

 

그렇다면 음의 정수에 대해서도 확장할 수 있을까요?

 

아까 했던대로 돌아가봅시다.

 

(n-1)!=n!/n 이라고 했죠?

 

그렇다면 -1을 대입해봅시다.

 

 

 

 

 

앗?

 

1을 0으로 나눴네요?

 

수학에서는 어떠한 수를 0으로 나누는 것은 불가능하다고 알려져 있습니다

 

따라서 음의 정수의 경우는 값이 정의되지 않습니다.

 

그럼 정수가 아닌 다른 수에대해서는 어떨까요?

 

과연 (1/2)! 를 만족하는 함수가 존재할까요?

 

유명한 수학자인 오일러가 찾아낸 "감마함수"라는 함수는 이러한 계승함수의 성질들을 모두 만족시키는 함수입니다.

 

바로 이 함수가 되겠습니다.

 

 

이 함수는 완벽하게 (x-1)!과 똑같습니다. 즉 정리하면.

 

 

 

 

x!는 이 두가지를 만족시켜야 합니다

 

1. 0!=1,

2. x!=x*(x-1)!

 

한번 확인해 볼까요?

 

1번이 확인 됐습니다.

 

그럼 2번을 보죠

 

 

추가로, 감마함수가 계승을 복소수 범위로 확장한 유일한함수라는 것은, 좀 더 자세하게 증명할 수 있는데 그건 나중에 한번 다뤄보도록 합시다.

 

이러한 적분식에 1/2를 대입하면, 신기하게도 

 

 

 

라는 값을 얻을 수 있습니다.

 

오늘은 감마함수를 다뤄봤습니다. 재밌게 보셨다면 좋아요랑 덧글 부탁드리겠습니다:)