자연수의 총합은 -1/12? 라마누잔 합

오늘 포스팅 해볼 것은 수학적으로 말도안되는 내용이다

바로 모든 자연수의 합. 즉,1+2+3+.... 이 -1/12 이 된다는 것.

 

 

무슨 이 개뼈다귀같은 소리인가. 개가 풀뜯어먹다가도 어이없어 쳐다볼수준이다.

상식적으로 생각해 보면 말도안되는 내용이지만, 의심은 잠깐 접어두고 아래 내용을 한번 보자.

 

 

본래 S_1 이라는 무한합은, 짝수항까지 더했을 때는 0, 홀수항까지 더했을 때는 1의 값을 갖는 진동하는 수열이다. 즉 발산하는 수열이기 때문에 수렴값이 존재하지 않지만, 만약 수렴값이 존재한다고 가정한다면, 이러한 결과를 얻을 수 있다.

 

 

 

 

 

슬슬 괴랄해지기 시작한다. 언뜻보면 납득이 될 것도 같으면서도 말도 안되는 것 같기도하고. 애매모호하다.

 

자 그럼 마무리를 지어보자

 

 

이러한 이유로 자연수의 모든 합은 -1/12 가 된다.

 

언뜻보면 납득이 될 것 같기도 하고, 좀 아닌 것 같기도 하다.

 

실제로 S_1 의 수렴값을 1/2 로 한정짓는 과정은, 1703년 루이지 귀도 그란디에 의해 제기된 후 150여년 동안 논란이 되었던 사안이라고 하니 당황스러운게 자연스러운 것이다.

 

재밌는 건, 이 수학적 사실이 단순히 수 놀음에서 그치는 것이아니라 실제로 쓰이기도 한다는 점이다. 양자장 이론과, 끈이론에서 자연수의 총합이 -1/12 라고 계산하여 사용한다.

 

실제로 조셉 폴친스키의 대학원 과정 교과서 String Theory 1권 22 쪽에 이 합이 적혀있다.

 

 

 

그렇지만 과학 서적에 쓰인다고 해서 그냥 아 그렇구나! 라고 넘어가기엔 너무 미심쩍은 부분들이 많이 남아있다. 애초에 진동하는 수열을 수렴한다고 가정했다는 것 자체가 이상하지 않은가?

 

사실 위 증명 과정은 어린아이 수준에서 보여주기 위한 수놀음에 불과하고, 수학자 라마누잔이 이 사실을 좀 더 엄밀하게 보여준다.

 

다른 방식으로 S=-1/12 라는 것을 보여보자.

 

 

 

 

과정이 조금 더 엄밀해졌다. 등비수열의 합 공식은 |x|<1 일 떄만 성립한다. 이 때 x가 1- 에 무한히 다가간다고 가정했을 때, 수렴값이 1/4 라는 것을 알 수 있다.

 

이후 S=1+2+3+4... 라고 두고, 1-2+3-4....=S_2 라고 두면,

 

4S=4+8+... 가 되고, S-4S는 1-2+3-4+... 가 된다.  따라서 -3S=1/4 니까 S=-1/12.

 

수놀음이라는 느낌이 조금 덜한 방식의 증명이지만, 어쨌든 아직도 미심쩍은 부분이 없지 않아 있다.

 

라마누잔은 이러한 수놀음을 엄밀한 해석적 확장을 통해 이러한 값을 갖는다는 것을 보여준다.

 

어떤 특정한 함수 f(x)에 대해, 라마누잔은 다음과같은 공식을 도출해 냈다.

 

 

 

i는 루트(-1)

 

이 공식의 유도 과정을 이해하기 위해서는 베르누이 수(Bernoulli numbers), 오일러-맥클로린 급수(Euler-Maclaurin summation formula)등 에 대한 이해가 필요하다. 

 

뒤에 이상하게 생긴 R 모양은, 실제 덧셈값과 구분해주기 위해 라마누잔 합이라는 것을 표시하기 위해 나타내는 기호이다.

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation

 

자세한 증명과정은 위 링크를 참고할 것.

 

이러한 수열의 합을 라마누잔 summation 이라고 부른다. (Ramanujan summation)

 

--테일러 급수를 생각해서 열심히 가지고 놀다보니 이러한 공식이 나왔다.-- 정도로 이해하면 될 듯 하다.

 

이러한 공식에 대해 f(x)=x 를 대입 한다면, 위 공식을 y=x 에 대한 해석적 연속으로 볼 수 있다. (정의역이 넓어졌다고 보면 된다.)

 

자 그럼 여기서 f(x)=x 라고 하면,  1+2+3+...=0-1/12 라는 결과를 얻을 수 있다.

 

엄밀한 해석적 연속을 이용하여 1+2+3+... 이 =-1/12 라는 사실을 알아냈다. 쉽지 않은 과정이긴 했지만, 어쨌든 연관이 아예 없지는 않은가 보다.

 

해석적 연속이라 함은 그 값이 서로 연관이 있다라는 의미를 갖는 것이지 그 값 자체가 서로 같다라고 보기에는 무리가 있다. 실제로 위 함수를

 

해석적 연속의 함수라고 본다면 본래 함수 y=x 는 실수체계에 있어서 해석적 연속 함수의 제한 이라고 볼 수 있는 것이다.

 

어쨌든 재미있는 수놀음이다.

 

 

 

f(x)에 굳이 x만 대입해야 하는 것은 아니다. 다양한 함수를 대입해 볼 수 있다.

 

재밌는건 f(x)가 우함수일 경우 f(it)-f(-it)=0 이기 떄문에, 뒤에 적분식이 없어져, f(1)+f(2)+f(3)+...=-f(0)/2 라는 결과를 얻을 수 있다.

 

따라서 모든 정수 n 에 대해 (심지어 0도!) f(x)=x^(2n) 의 모든 라마누잔 합의 값은 0이다.

 

 

 

 

f(x)가 다항함수가 아니더라도 합을 유도해낼 수 있다. f(x)=1/x 일때 조화급수의 수렴값(?) 을 계산해볼 수 있는데. 이 값을 γ 로 표시하고 오일러 맥클로린 상수 라고 부른다.

 

오일러 맥클로린 상수에 대한 자세한 것은 나중에 한번 다뤄보자

 

그러나 재미있는 사실은, 이러한 숫자놀음에 불과해 보이는 공식들의 나열이, 현재까지도 풀리지 않은 밀레니엄 문제중 하나인 리만 가설로 이어지게 된다는 것이다.

 

그럼 이어서 리만 가설에 대한 것은 다음 포스팅에서 한번 다뤄 보자.